在数学中，二重积分是一种对于二元函数在给定区域上的积分运算。在本文中，我们将讨论在定义域为 x+y≤4 的情况下，二元函数 xy 的二重积分的计算方法。

首先，我们需要将定义域 x+y≤4 转化为极坐标形式。因为在极坐标系下，圆形的方程为 r=x+y，所以我们可以得到 r≤4，即 r≤2。因此，我们可以将 x 和 y 用极坐标参数表示为 x=r*cos，y=r*sin。

接下来，我们需要将二元函数 xy 用极坐标参数表示。因为 x=r*cos，y=r*sin，所以 xy=r*cos*sin。因此，我们可以得到二元函数 xy 在极坐标系下的表达式为 r*cos*sin。

现在，我们可以将二重积分转化为极坐标形式。因为在极坐标系下，面积元素为 r*dr*d，所以我们可以得到二重积分的计算式欧宝真人官方网站为：

∬(x+y≤4)xydxdy = ∫[0,2]∫[0,2]r*cos*sin * r dr d

接下来，我们可以对此式进行积分运算。首先，对于内积分 ∫r⁴*cos*sin dr，我们可以通过分部积分法得到：

∫r⁴*cos*sin dr = 1/5*r⁵*cos*sin - 2/15*r⁵*sin + C

将上式带入原式，我们可以得到：

∬(x+y≤4)xydxdy = ∫[0,2]∫[0,2]r*cos*sin * r dr d

= ∫[0,2] [1/5*r⁶*cos*sin - 2/15*r⁶*sin] |r=0..2 dr d

= ∫[0,2] [16/5*cos*sin - 32/15*sin] d

= 0

因此，我们得出在定义域 x+y≤4 的情况下，二元函数 xy 的二重积分为 0。

撰稿：李宗孟 审核：吉中孚